趣题：切完大饼和蛋糕，让我们切一切甜甜圈

我正在餐桌前吃早餐。餐桌上有一张圆形的大饼，有一个方形的蛋糕，还有一个甜甜圈。我依次思考了下面三个问题。你能帮我想出它们的答案吗？ 3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆盘分成多少个区域？ 4 刀切一个方形的蛋糕，最多能把它分成多少块？或者说，4 个平面最多能把一个正方体分成多少个区域？ 3 刀切一个甜甜圈，最多能把它分成多少块？或者说，3 个平面最多能把一个（实心的）环面分成多少个区域？ 提示：上一个问题的答案总会为下一个问题提供线索。 3 刀切一张圆形的大饼，最多能把它分成多少块？或者说，3 条直线最多能把一个圆形分成多少个区域？ ​ 这是一个经典的小学问题。答案是 7 块。如图所示，事实上，当直线数分别为 1, 2,...

Sep 2021

称假币问题的变形：无假币与“天平机”

大家应该听说过 9 枚硬币的问题吧。9 枚硬币当中有 8 枚是真币，有 1 枚是假币。所有的真币重量都相同，假币的重量则稍重一些。怎样利用一架天平两次就找出哪一枚硬币是假币？方法是，先把 9 枚硬币分成三组，每组各 3 枚硬币。然后，把第一组放在天平左边，把第二组放在天平右边。如果天平向左倾斜，说明假币在第一组里；如果天平向右倾斜，说明假币在第二组里；如果天平平衡，说明假币在剩下的第三组里。现在，假币的嫌疑范围就被缩小到 3 枚硬币之中了。选择其中 2 枚硬币分放在天平左右两侧。类似地，如果天平左倾，就说明左边那枚硬币是假的；如果天平右倾，就说明右边那枚硬币是假的；如果天平平衡，就说明没放上去的那枚硬币是假的。 9 硬币问题实在是太经典了，你甚至能在人教版小学五年级下册的课本里看到它。9 硬币问题还衍生出了很多变形，其中最著名的当属...

Sep 2021

UyHiP 趣题：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形

下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？ 答案是否定的。我们给出一个非常漂亮的证明。在下面的文字中，我们用“优角”一词来表示一个大于 180 度小于 360 度的角。 假设某个凸四边形被分成了若干个凹四边形。容易看出，每个凹四边形的内角中都有且仅有一个优角（如果没有优角，它就不是凹四边形；如果有两个或更多的优角，就与四边形内角和为 360 度矛盾）。 现在，让我们把每个凹四边形的那个优角顶点涂成蓝色。容易看出，每个蓝色顶点只能成为一个凹四边形的一个优角顶点（否则汇聚于该点处的角度之和会超过 360 度）。这意味着，每个蓝色顶点都唯一地对应一个凹四边形。如果图中的蓝色顶点一共有...

Sep 2021

Lissajous 曲线的动画演示

随着常数 m 和 n 的变化，参数方程 x = sin(m · t), y = sin(n · t) 将会画出一系列漂亮的曲线。法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 曾在 1857 年研究过这类曲线，因此人们把它叫做 Lissajous 曲线。我在 reddit 上看到了一个 Lissajous 曲线的动画演示，觉得看起来确实非常爽；但那个动画里没有解释曲线的生成方法，很多细节也有让人不太满意的地方，于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m = 13, n = 18 时的 Lissajous 曲线。

Oct 2016

位换记号、排列测试与状态图：杂耍中的数学

2016 年 7 月 30 日至 8 月 7 日，第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）这项运动最大的赛事。在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二，之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军。这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强，并在淘汰赛阶段过关斩将，最终成功在决赛场上相遇。最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的...

Oct 2016

UyHiP 趣题：几个特殊的强正则图

下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 8 月的题目，稍有改动。 屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有 9 个人，其中 8 个人正好组成 4 对朋友，第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友。容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。 除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样： 现在，假设屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友。这有可能吗？有可能。比方说，屋子里有...

Sep 2016

趣题：为什么偏偏是 6 格？

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一： 选择某个格子，保证该格子内至少含有 1 个原子。将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个，从而使得该格子内的原子数量减 1 ，两边的邻格里的原子数量分别加 1。 选择某个格子，保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起来，从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ，该格子内的原子数量加 1。 初始时，某个格子里有 1 个原子。现在，你需要在若干次操作之后，让它右移 6 格。也就是说，你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。...

Sep 2016

IMO2016 趣题：Geoff 的青蛙

2016 年 IMO 的第 6 题（也就是第二天比赛的第 3 题）非常有趣，这恐怕算得上是近十年来 IMO 的所有题目中最有趣的题目之一。平面上有 n ≥ 2 条线段，每两条线段都有一个交点，并且任意三条线段都不交于同一点。 Geoff 打算在每条线段的其中一个端点处放置一只青蛙，并让每只青蛙都朝向它所在线段的另一个端点。然后， Geoff 将会拍 n – 1 次手。每次拍手时，每只青蛙都立即向前跳到它所在线段的下一个交点处（青蛙们在跳跃过程中始终不会改变方向）。 Geoff 希望巧妙地安排初始时放置青蛙的方法，使得在整个过程中，任意两只青蛙都不会同时到达某个相同的交点。这个题目有两个小问。 证明：当 n 为奇数时， Geoff 一定有办法实现他的要求。 证明：当 n 为偶数时， Geoff...

Aug 2016

捡石子游戏、 Wythoff 数表和一切的 Fibonacci 数列

让我们来玩一个游戏。把某个国际象棋棋子放在棋盘上，两人遵循棋子的走法，轮流移动棋子，但只能将棋子往左方、下方或者左下方移动。谁先将棋子移动到棋盘的最左下角，谁就获胜。如果把棋子放在如图所示的位置，那么你愿意先走还是后走？显然，答案与我们放的是什么棋子有关。 这个游戏对于兵来说是没有意义的。在如图所示的地方放马或者放象，不管怎样都无法把它移动到棋盘的最左下角，所以我们也就不分析了。因此，我们只需要研究王、后、车三种情况。 在国际象棋中，车每次可以横着或竖着走任意多格。在上述游戏中，受到规则的限制，车每次只能向左或者向下走任意多格。如果问题中的棋子是车，答案就非常简单了：你应该选择先走。你应该直接把车移到棋盘对角线上的位置（如左图所示），然后不管对方怎么走，你都把它移回到棋盘的对角线上。这样，你就能保证必胜了。...

Jun 2016

如果把 3 · n + 1 问题改为 3x · n + 1 问题

Collatz 猜想也叫做 3 · n + 1 问题。这可能是数学中最为世人所知的未解之谜。它是如此初等，连小学生都能听懂它的内容；但解决它却如此之难，以至于 Paul Erdős 曾说：“或许现在的数学还没准备好去解决这样的问题。”这究竟是一个什么样的问题呢？让我们来看一下 Collatz 猜想的叙述： 任意取一个正整数 n 。如果 n 是奇数，则把 n 变为 3 · n + 1 ；如果 n 是偶数，则把 n 变为 n/2 。不断重复操作，则最终一定会得到 1 。 举个例子，如果 n = 26 ，那么经过下面 10 步之后，它最终变为了 1 ： 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Collatz 猜想说的就是，这个规律对于所有正整数...

May 2016